In this thesis models of the real numbers will be constructed using a set-theoretic approach. The mathematical foundation we will assume is the first-order theory with equality known as Zermelo-Fraenkel set theory ZF. From the axioms of ZF, the necessary notions for the construction will be introduced as definitional extensions to the language of ZF. We will show how functions can be defined as relations, which in turn are defined as subsets of Cartesian products. Using this preliminary work we will first construct the natural numbers. We will see how our intuition of using the natural numbers for counting gives rise to the Dedekind-Peano axioms PA. Defining the natural numbers ℕ as the smallest set satisfying the requirement in the statement of the Axiom of Infinity, we find that they are indeed a model of PA. By using our knowledge of what properties operations relating to the natural numbers should satisfy, we induce algebraic structures, the most basal of which being the ordered semiring. We will see how the successor function and induction are intimately tied to the predecessor function and well-ordering. This structure will be used to prove the uniqueness of ℕ; it is the unique well-ordered commutative semiring in which every nonzero element has a predecessor. Next the integers ℤ are defined as equivalence classes of pairs of the natural numbers. We observe how the integers have additive inverses, which allows for a simple characterisation of them as the unique ordered commutative ring whose positive elements are well-ordered. Using the integers, we will define the rational numbers ℚ as fractions represented by equivalence classes of pairs of integers. An important result will be that the rational numbers are the smallest ordered field, in that every ordered field has a subfield isomorphic to ℚ. After this, we will turn to constructing the real numbers. Three models will be constructed: the Dedekind reals ℝ_D, the Cantor reals ℝ_C and the Schanuel reals ℝ_S. The first two constructions both induce a fundamental property of the real numbers: completeness. The third construction is a lesser known construction. We will compare the three constructions and prove they are indeed equivalent. That is, we will prove that any ordered field is Dedekind-complete if and only if it is Archimedean and Cauchy-complete. This property of the real numbers will be used to prove that they are the unique ordered Dedekind-complete field. Lastly some directions for further research will be discussed.

"Waarom is de ruimte waarin we leven driedimensionaal?” is een vraag die men zich al sinds de Griekse oudheid stelt. Lange tijd was het antwoord op deze vraag dat er drie coördinaten nodig zijn om een punt in de ruimte te beschrijven, maar in 1877 bewees Georg Cantor het opmerkelijke resultaat dat hier maar één coördinaat voor nodig is. Deze ontdekking was het startschot van de moderne dimensietheorie.

Er stonden twee vraagstukken centraal toen de dimensietheorie in het begin van de 20e eeuw werd ontwikkeld. Men was op zoek naar een goede definitie voor het begrip dimensie, want “het aantal coördinaten” voldeed klaarblijkelijk niet aan de verwachtingen. Een andere sterke motivator was het aantonen van de invariantie van dimensie. Hiermee bedoelen we dat als 𝑛 en 𝑚 verschillende natuurlijke getallen zijn, de ruimten ℝ^𝑛 en ℝ^𝑚 ook topologisch verschillend zijn. De ruimten die zo worden aangeduid heten de euclidische ruimten. Als we voor 𝑛 de getallen 1, 2 en 3 invullen, krijgen we respectievelijk de lijn, het vlak en de ruimte om ons heen. Het bleek dat deze stelling niet heelmakkelijk aan te tonen was, maar in 1911 was het de Nederlander L.E.J. Brouwer als eerst gelukt.

Uiteindelijk is er niet één beste definitie van dimensie gevonden. Over het algemeen worden er drie verschillende definities gebruikt die goed werken. Dit zijn de kleine inductieve dimensie, de groteinductieve dimensie en de overdekkingsdimensie. Volgens alle drie deze definities is de euclidischeruimte ℝ^𝑛 𝑛-dimensionaal, precies zoals we verwachten.

 In deze scriptie bewijzen we dat deze drie dimensies overeenstemmen voor een bepaalde klasse ruimten, namelijk de separabele metrizeerbare ruimten, hieronder vallen ook de euclidische ruimten. Daarentegen geven we een voorbeeld van een andere ruimte waarbij de drie dimensies niet overeenstemmen.

In this report we examine the dual space of $\ell^\infty$. If $p \in [1,\infty)$ and $q \in [1,\infty]$ satisfy $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, then one can identify the spaces $\ell^q$ and $(\ell^p)'$ in a natural way via an isometric isomorphism. This identification does not extend to the case $p=\infty$ and $q=1$. We prove that the obvious candidate for an isometric isomorphism from $\ell^1$ into $(\ell^\infty)'$ fails to be surjective, and moreover, that an isometric isomorphism (even a homeomorphism) between these spaces does not exist at all.

We introduce a space that we can identify with $(\ell^\infty)'$ via an isometric isomorphism. This is the space of bounded finitely additive measures on $\mathbb{N}$, denoted by $\ba(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))$. Having found this characterization of $(\ell^\infty)'$, we examine what kinds of finitely additive measures on $\mathbb{N}$ exist. These include $\sigma$-additive measures that are induced by $\ell^1$, diffuse measures, shift-invariant and more general invariant measures, measures that extend the asymptotic density, $0,1$-valued measures and stretchable, thinnable and elastic measures. Elastic measures can be considered the nicest measures on $\mathbb{N}$, from an intuitive point of view.

We also describe the functionals that correspond to particular types of measures and vice versa. Moreover, we prove that the collection of ultrafilters on $\mathbb{N}$ can be identified with the collection of $0,1$-valued measures on $\mathbb{N}$, which, in turn, can be identified with the collection of multiplicative functionals on $\ell^\infty$.

This thesis is about homological algebra and singular (co)homology.

In the first chapter the notions of complexes of abelian groups, (co)homology of these complexes and injective resolutions will be introduced. Then Ext-groups will be defined and various properties dervied. A particularly interesting group, Ext(Q,Z), will be calculated which involves the p-adic integers. Lastly we will prove the universal coefficient theorem for complexes of free abelian groups.

In the second chapter we will use the tools provided by the previous chapter to calculate the singular homology groups of topological spaces. First we will explicitely describe the zero'th and first singular homology groups for any topological space. For the spheres S^n and real projective n space P^n(R) we will calculate all singular homology and cohomology groups. For this we will use the universal coefficient and properties about Ext-groups which have been proven in chapter 1. We will also prove and use the long exact sequence of Mayer-Vietoris. This theorem proposes a way to calculate the singular homology groups of a space by using the singular homology groups of two subspaces.

In deze scriptie gaan we twee wiskundige objecten onderzoeken, het ultrafilter en de ultramacht. Zodra je in de wiskunde een nieuw object hebt bedacht zijn de eerste twee vragen die je stelt altijd 1) bestaat het? en 2) Als het bestaat, is het dan uniek, of zijn er meerdere? Nou is dat voor een ultrafilter relatief makkelijk te beantwoorden. In hoofdstuk 1 zijn we bezig om allerlei nuttige eigenschappen van het ultrafilter te onderzoeken. Voor een ultramacht echter is het wel duidelijk dat die bestaat, maar het kost nog veel werk om uit te vinden of er meerdere zijn. Bij dat antwoord speelt de Continuümhypothese een belangrijke rol. In de wiskunde is het duidelijk dat de natuurlijke getallen N en de reële getallen R verschillende soorten oneindig zijn. De Continuumhypothese stelt dat er geen enkele andere soort oneindigheid tussen N en R ligt. Het blijkt dat het antwoord op de vraag “Zijn er twee verschillende ultramachten?” precies samenhangt met of de Continuümhypothese waar is. Om tot dit antwoord te komen gaan we een eigenschap van ultramachten onderzoeken genaamd “gaten”. We kunnen dan bij verwerping van de Continuümhypothese twee ultramachten aanwijzen die verschillende gaten hebben en dus verschillend zijn.

Deze scriptie gaat over βN. Wat specifieker: ze gaat over onvergelijkbare elementen in de Rudin-Keislerorde op βN. βN is een topologische ruimte, het is de Čech-Stone-compactificatie van de natuurlijke getallen. Er kan over βN echter ook op een meer verzamelingtheoretische manier worden nagedacht, namelijk als de familie van alle ultrafilters op de natuurlijke getallen. Deze dualiteit maakt βN een interessante plek om te onderzoeken voor zowel topologen als verzamelingtheoretici. Een vruchtbare techniek om grip te krijgen op βN is om deze uit te rusten met een orde. Een nuttige orde op βN is de Rudin-Keislerorde, genoemd naar M. E. Rudin en H. J. Keisler. We gaan bewijzen dat de Rudin-Keislerorde op βN niet totaal is. Dat wil zeggen, dat er onvergelijkbare elementen in deze orde bestaan. Eerst gaan we twee onvergelijkbare elementen vinden. Hiervoor zien we βN als de verzameling van alle ultrafilters op N en laten we de topologische eigenschappen buiten beschouwing. We gaan twee oneindige torens van filters bouwen, en boven op die twee torens plakken we een ultrafilter. De manier waarop we de torens geconstrueerd hebben gaat ervoor zorgen dat die twee ultrafilters onvergelijkbaar zijn in de Rudin-Keislerorde. Deze constructie kan ook gebruikt worden om c onderling onvergelijkbare elementen in de Rudin-Keislerorde te vinden, dan maken we c torens van filters en plakken we boven op al die torens een ultrafilter. Deze ultrafilters gaan onvergelijkbaar zijn in de Rudin-Keislerorde. Nadat we c onvergelijkbare ultrafilters hebben gevonden gaan we dit resultaat overtreffen door 2^c onderling onvergelijkbare elementen te vinden. Dit doen we door gebruik te maken van de topologische eigenschappen van βN.

De 'grootte' van een verzameling staat in de wiskunde bekend onder de term 'kardinaliteit'. Omdat de kardinaliteit van de natuurlijke getallen niet met een eindig natuurlijk getal n kan worden aangetoond, is de kardinaliteit van deze verzameling uniek gedefinieerd als alef-nul. Met dank aan Cantor’s bewijs voor de stelling dat de verzameling reële getallen overaftelbaar is, weet men dat er verzamelingen bestaan met kardinaliteit groter dan alef-nul. De eerstvolgende verzameling die groter is dan de verzameling natuurlijke getallen geven we kardinaliteit alef-één. 
Vanzelfsprekend zijn er voor verzamelingen met kardinaliteit alef-nul talloze mooie stellingen geformuleerd en bewezen. Deze stellingen kunnen eenvoudig worden uitgebreid naar verzamelingen met kardinaliteit alef-één, door de term 'eindig' in 'oneindig' te veranderen en 'aftelbaar' in 'overaftelbaar'. Het valt echter op dat sommige stellingen die gelden voor verzamelingen met kardinaliteit alef-nul niet meer gelden nadat ze zijn uitgebreid naar verzamelingen met kardinaliteit alef-één. Het kan ook gebeuren dat een stelling juist wel in het overaftelbare geval geldt, maar niet in het aftelbare geval. In dit verslag zullen een aantal dergelijke stellingen aan bod komen.

Context. In the near-future, exoplanets can be observed directly through telescopes. Although the resolution of the planet's image will only be one pixel at first, the intensity of this pixel will change over time because of the orbit around its host star and its diurnal rotation. This intensity as a function of time is called the light curve of an exoplanet. The changes in the light curve as a result of annual and diurnal rotation can in turn be used to obtain information about the surface of the planet, this is called spin-orbit tomography.

Aims. The aim of this study is to determine if an exoplanet's surface can be retrieved from its light curve for planet surfaces that can be described by Lambertian, Lommel-Seeliger or Fresnel reflection, or a combination of these. The variation in the light curve due to differences in the planet's surface will be used to find a map of its continents and oceans and to determine what surface types the planet is made of.

Methods. This thesis starts by composing a near-equal area segmentation of a sphere to maximize the retrieval of information per pixel of the exoplanet's surface. Additionally, a method for generating artificial planets is described, such that the following method can be tested on light curves, since the current telescopes are not powerful enough to measure an exoplanet's light curve. A linear transformation from the surface to the light curve is constructed to obtain the light curve from the surface. Consequently, this transformation is inverted in order to obtain information about the surface from the light curve. This method is applied to exoplanets with a stationary surface, i.e. no clouds or changing ice caps and is consistent of the following surfaces: water, vegetation, sand and snow, each described by a different reflection model. Lastly, surface retrieval is tested from a light curve with a realistic amount of photon shot noise (SNR ≈ 14).

Results. The composed near-equal area segmentation of a sphere is the Voronoi diagram of the Fibonacci lattice. It is a very appropriate near-equal area segmentation, because the maximum difference in facet area is 12% for 1001 points. Furthermore, the retrieval of an exoplanet's surface from its reflected light curve is close to perfect for exoplanets that are described by a combination of the three reflection models if the light curve does not contain noise and there are a sufficient number of data points. If the light curve does contain shot noise, parts of the surface that are described by the Lommel-Seeliger law, are not retrieved correctly. However, the general shape of the surface that is described by Lambertian or Fresnel reflection is still retrieved correctly. If the surface can be described by one single reflection model, the planet's features are retrieved correctly from a light curve with shot noise regardless of the reflection model.

Conclusions. Spin-orbit tomography in the form of a linear transformation between the light curve and albedo map of an exoplanet is a very accurate method to retrieve the albedo map from a single observed pixel, even with a realistic amount of shot noise.

This paper introduces the notion of infinite games, i.e., games in which two players take turns playing moves ad infinitum, so that player I wins if the sequence of moves is in a predetermined payoff set. Theorems are then provided about whether a player in such games can have a winning strategy. The first theorem, Gale-Stewart, shows that games with an open or closed payoff set are determined, i.e., one of the players has a winning strategy. The second theorem, Martin, shows moreover that any game with a Borel payoff set is determined. Finally, the paper presents some results that follow from these theorems, for instance that the Continuum Hypothesis holds for all Borel sets. This paper only requires knowledge of very basic set theory and will clearly define any new or otherwise unfamiliar concepts.

Tijdens dit project wordt in de Rudin-Keisler (partiële) ordening een ruit van ultrafilters geconstrueerd. Tijdens deze constructie wordt gebruik gemaakt van een speciaal soort onafhankelijke familie. Het zijn namelijk de inverse beelden van de congruentieklassen 1 mod 2 en 0 mod 2 onder functies, die allemaal uit dezelfde oneindige familie van grote schommeling komen. Aan het einde van het onderzoek is nog gekeken of je alle eindige partiële ordeningen op deze manier kan construeren, maar helaas is dat niet gelukt.

In this report we will take a look at various proofs of Ramsey's theorem, some of the bounds that result from those proofs and applications of Ramsey's theorem. We will consider the proof of Ramsey himself, the proof of Skolem, the proof given by Erd\H{o}s and Szekeres and the proof of again Erd\H{o}s and Rado. The best upper bound for higher order Ramsey numbers is obtained by following the proof of Erd\H{o}s and Rado and this bound has only marginally improved since then. We will also state and prove the lower bound given by Erd\H{o}s and Hajnal. In the end we will apply Ramsey's theorem to both the Happy Ending problem and the monotone subsequence problem. The bounds we get for both problems using Ramsey's theorem, however, are quite weak compared to bounds that do not use Ramsey's theorem, so the theorem is more useful in proving the existence of a certain number than it is to find strong bounds for it.

Stationary sets are important tools in proofs of properties in sets of uncountable cardinality. In this thesis we look at mapping properties between stationary sets. First, the theory necessary for the construction and evaluation of stationary sets is made. That is the theory of ordinal, cardinal and regular cardinal numbers is build up from the level of knowledge of a mathematics student. Two important theorems for stationary sets, Fodor's theorem and the theorem of Ulam and Solovay, are proven. Next mapping properties of stationary subsets of a regular cardinal $\kappa$ under measurable functions is looked into. With these properties we construct a necessary condition for the existence of homeomorphisms between stationary sets; they may only differ on a non-stationary set. Lastly the amount of stationary subsets of a regular cardinal k without a homeomorphism between them is estimated as the cardinality of the power set of k. We find that there are 2 to the power k topologically incomparable subsets of k.

In dit verslag bekijken we zes topologische tegenvoorbeelden. Eerst bestuderen we de topologie van Appert. Deze topologie is gedefinieerd op een aftelbare verzameling, maar heeft overaftelbaar veel open verzamelingen. In de ruimte van Appert zijn de triviale rijtjes de enige rijtjes die convergeren. De ruimte is separabel, maar voldoet niet aan het tweede aftelbaarheidsaxioma.
Het is bekend dat elke aftelbare reguliere ruimte normaal is en dus `veel' continue functies naar het eenheidsinterval heeft. Daarom is een aftelbare reguliere ruimte niet samenhangend. Dit geldt echter niet voor aftelbare Hausdorff ruimten. We bestuderen een ruimte die aftelbaar Hausdorff is én samenhangend. Deze ruimte heet Gustin's rijruimte.
Daarna bekijken we een andere samenhangende ruimte: de topologische sinus-kromme. Deze is niet compact, maar we kunnen de ruimte uitbreiden en er een compacte ruimte van maken. We zien in dit hoofdstuk dat niet elke kromme padsamenhangend is. Dus samenhang impliceert niet altijd padsamenhang.
De vierde ruimte die we bestuderen is Van Douwen's ruimte. Deze is regulier en $T_1$. Elke continue reëelwaardige functie in deze ruimte is constant.
Verder bekijken we een overaftelbaar product van normale ruimten, waarvan de productruimte zelf niet normaal is. Of het product separabel is of niet, hangt af van de `grootte' van het product.
Tot slot nog een productruimte: de ruimte van Helly. Dit product is wel normaal, maar bevat een niet-normale deelruimte. We zullen namelijk zien dat de ruimte compact Hausdorff is en een deelruimte heeft die homeomorf is met de Sorgenfreylijn. De ruimte voldoet aan het eerste maar niet aan tweede aftelbaarheidsaxioma. De ruimte is wel separabel.

Topos theory and quantum mechanics are both known for having a logic that is different from ordinary logic. With this in mind, much work has been done on unifying these two fields. Loveridge, Dridi and Raussendorf apply this unification to measurement-based quantum computation [14], revealing links between computation, contextuality and the failure of the law of excluded middle in the topoi associated with each computation. We review their work, fill in gaps, follow their research suggestion and have some criticism. Our main original finding is a formula, in the formal language of the topos associated with a computation, that expresses that the computation is deterministic.

Sinds 2015/2016 krijgen de leerlingen op de havo met wiskunde A op hun eindexamen een blad met enkele vuistregels. In deze thesis heb ik de achtergrond van deze vuistregels onderzocht en de vuistregels zelf tegen het licht gehouden.

This thesis focusses on good ultrafilters. Firstly ultrafilters are introduced and the definition of a good ultrafilter is given. Next the proof that good ultrafilters exists is discussed. Lastly it is shown that good ultrafilters make ultraproducts saturated. 

We explore the proof Boolos has given for Gödel's first incompleteness theorem, which has a lot of similarities with Berry's Paradox. Then we give a proof for Tarski's theorem about the undefinability of truth and Turing's solution for the Entscheidungsproblem in a similar way.

In dit bachelor eindproject kijken we naar de integreerbaarheid van eindige elementaire functies. Soms heb je het vermoeden dat een functie geen primitieve heeft in eindige termen, maar dan is dat vaak lastig om te bewijzen. Aan de hand van de stelling van Liouville-Rosenlicht gaan we in een aantal van zulke gevallen bewijzen dat de gevraagde primitieve niet bestaat. Je kunt er in dat proces ook achter komen dat de functie toch wel zo'n primitieve heeft. Dan krijg je met deze stelling vaak ook een aardig beeld van hoe de primitieve er ongeveer uit zou moeten zien. Voor het bewijzen van de stelling van Liouville-Rosenlicht duiken we een stuk de differentiaalalgebra in.

E8 is a famous root system in mathematics. Lisi claims in his paper “An Exceptionally Simple Theory of Everything” that there is a connection between the standard model of the elementary particles and this root system. He claims that standard model has the same structure as the root system E8. If this is true, there must be a mapping from the standard model to E8. This map must identify each elementary particle with an unique root of E8. Also the four charges (weak isospin, weak hypercharge, g3 and g8) of the standard model must have corresponding vectors in R8. These four charge vectors must have the property that taking the inner product of the charge vector and the root identified withan elementary particle, it would result in the charge of that particle. This is needed to guarantee that we have conservation of charge. In this paper we have shown that it is not possible to find a map with four charge vectors. This was done by studying root systems and how different root systems are present in E8 as sub root systems. We also proved that the intersection of E8 with the orthogonal complement of a charge, must be a root system. This limits the possibilities for the charge vectors. For these possible charges it has been checked whether there are enough roots for a given charge to identify the elementary particles. Since this was not the case, we concluded that no mapping with four charge vectors exists.

In dit verslag worden drie noties van eindigheid van een verzameling gedefinieerd.
Een verzameling is eindig wanneer er een bijectie bestaat tussen de verzameling en een natuurlijk getal. Uiteraard worden eerst de natuurlijke getallen gedefinieerd.
Een verzameling is surjectie-eindig als iedere surjectieve functie met als domein en codomein deze verzameling ook injectief is.
Een verzameling is Dedekind-eindig als iedere injectieve functie met als domein en codomein deze verzameling ook surjectief is.
Er wordt bewezen dat deze drie noties in ZFC equivalent zijn.
Ook wordt bewezen dat in ZF iedere eindige verzameling surjectie-eindig is, en iedere surjectie-eindige verzameling Dedekind-eindig is.
Ten slotte wordt aangetoond dat de uitspraken `iedere Dedekind-eindige verzameling is surjectie-eindig' en `iedere surjectie-eindige verzameling is eindig', niet te bewijzen zijn in ZFA.
De conclusie is dat de hiërarchie eindig impliceert surjectie-eindig impliceert Dedekind-eindig strikt is.