Onvergelijkbare elementen in de Rudin-Keislerorde op βN

Abstract

Deze scriptie gaat over βN. Wat specifieker: ze gaat over onvergelijkbare elementen in de Rudin-Keislerorde op βN. βN is een topologische ruimte, het is de Čech-Stone-compactificatie van de natuurlijke getallen. Er kan over βN echter ook op een meer verzamelingtheoretische manier worden nagedacht, namelijk als de familie van alle ultrafilters op de natuurlijke getallen. Deze dualiteit maakt βN een interessante plek om te onderzoeken voor zowel topologen als verzamelingtheoretici. Een vruchtbare techniek om grip te krijgen op βN is om deze uit te rusten met een orde. Een nuttige orde op βN is de Rudin-Keislerorde, genoemd naar M. E. Rudin en H. J. Keisler. We gaan bewijzen dat de Rudin-Keislerorde op βN niet totaal is. Dat wil zeggen, dat er onvergelijkbare elementen in deze orde bestaan. Eerst gaan we twee onvergelijkbare elementen vinden. Hiervoor zien we βN als de verzameling van alle ultrafilters op N en laten we de topologische eigenschappen buiten beschouwing. We gaan twee oneindige torens van filters bouwen, en boven op die twee torens plakken we een ultrafilter. De manier waarop we de torens geconstrueerd hebben gaat ervoor zorgen dat die twee ultrafilters onvergelijkbaar zijn in de Rudin-Keislerorde. Deze constructie kan ook gebruikt worden om c onderling onvergelijkbare elementen in de Rudin-Keislerorde te vinden, dan maken we c torens van filters en plakken we boven op al die torens een ultrafilter. Deze ultrafilters gaan onvergelijkbaar zijn in de Rudin-Keislerorde. Nadat we c onvergelijkbare ultrafilters hebben gevonden gaan we dit resultaat overtreffen door 2^c onderling onvergelijkbare elementen te vinden. Dit doen we door gebruik te maken van de topologische eigenschappen van βN.