Dimensietheorie

Abstract

"Waarom is de ruimte waarin we leven driedimensionaal?” is een vraag die men zich al sinds de Griekse oudheid stelt. Lange tijd was het antwoord op deze vraag dat er drie coördinaten nodig zijn om een punt in de ruimte te beschrijven, maar in 1877 bewees Georg Cantor het opmerkelijke resultaat dat hier maar één coördinaat voor nodig is. Deze ontdekking was het startschot van de moderne dimensietheorie.

Er stonden twee vraagstukken centraal toen de dimensietheorie in het begin van de 20e eeuw werd ontwikkeld. Men was op zoek naar een goede definitie voor het begrip dimensie, want “het aantal coördinaten” voldeed klaarblijkelijk niet aan de verwachtingen. Een andere sterke motivator was het aantonen van de invariantie van dimensie. Hiermee bedoelen we dat als 𝑛 en 𝑚 verschillende natuurlijke getallen zijn, de ruimten ℝ^𝑛 en ℝ^𝑚 ook topologisch verschillend zijn. De ruimten die zo worden aangeduid heten de euclidische ruimten. Als we voor 𝑛 de getallen 1, 2 en 3 invullen, krijgen we respectievelijk de lijn, het vlak en de ruimte om ons heen. Het bleek dat deze stelling niet heelmakkelijk aan te tonen was, maar in 1911 was het de Nederlander L.E.J. Brouwer als eerst gelukt.

Uiteindelijk is er niet één beste definitie van dimensie gevonden. Over het algemeen worden er drie verschillende definities gebruikt die goed werken. Dit zijn de kleine inductieve dimensie, de groteinductieve dimensie en de overdekkingsdimensie. Volgens alle drie deze definities is de euclidischeruimte ℝ^𝑛 𝑛-dimensionaal, precies zoals we verwachten.

 In deze scriptie bewijzen we dat deze drie dimensies overeenstemmen voor een bepaalde klasse ruimten, namelijk de separabele metrizeerbare ruimten, hieronder vallen ook de euclidische ruimten. Daarentegen geven we een voorbeeld van een andere ruimte waarbij de drie dimensies niet overeenstemmen.