Een algoritme voor het prijzen van Amerikaanse opties met behulp van regressie- en variantie reductietechnieken

Abstract

In tegenstelling tot een Europese optie, is de prijs van een Amerikaanse optie
vaak niet te berekenen met behulp van standaard analysemethoden. Om
toch een optieprijs te kunnen bepalen, wordt er gebruik gemaakt van simulatiemethoden. In stochastische modellen, gebaseerd op zogenoemde arbitragevrije prijsbepalingen, is de optieprijs gelijk aan de verdisconteerde verwachtingswaarde van de maximale opbrengst over alle mogelijke uitoefenmomentenm van de optie onder de risico-neutrale maat. Het uitoefenmoment waarvoor de verdisconteerde verwachte opbrengst maximaal is, wordt gevonden door een optimale uitoefenstrategie te hanteren. Deze uitoefenstrategie kan worden bepaald met behulp van de continueringswaarden die horen bij de optie. Het bepalen van de prijs van een Amerikaanse optie draait om het vinden van de continueringswaarden. Longstaff & Schwartz [2001] veronderstellen dat de continueringswaarden kunnen worden beschreven door een functie. Het algoritme dat zij beschrijven, maakt gebruik van regressietechnieken voor het bepalen van een functiebenadering van de continueringswaardefunctie. Met behulp van deze functiebenadering kan een ondergrens voor de optieprijs benaderd worden. Omdat het evalueren van de optieprijs relatief veel rekentijd kost, willen we dat de gevonden ondergrens ook relatief nauwkeurig is. Dit motiveert het gebruik van variantie reductie methoden. Bolia et al. [2004] beschrijven in hun artikel een methode die gebruik maakt van importance sampling als techniek voor de reductie van de variantie. In een iteratief proces proberen zij een zogenoemde variantie-nul kansmaat te benaderen. Wanneer de optieprijs onder deze kansmaat wordt geëvalueerd, kan de optieprijs met variantie nul worden bepaald. Net als Longstaff & Schwartz [2001] veronderstellen Bolia, Glasserman en Juneja dat zowel de optiewaarde als de continueringswaarden kunnen worden benaderd met een functie. Net als in het algoritme van Longstaff & Schwartz [2001], worden deze functies benaderd aan de hand van regressiemethoden. De optiewaardefunctie kan vervolgens gebruikt worden bij het bepalen van een benadering van de eerder genoemde variantie-nul maat. Met de gevonden benaderde kansmaat kan een nieuwe optiewaardeen continueringswaardefunctie worden benaderd. Intuïtief volgt dat elke iteratie een nauwkeurigere benadering geeft van de continueringswaardefunctie. Wanneer er voldoende iteraties zijn uitgevoerd kan de optieprijs worden geëvalueerd onder de verbeterde strategie. Dit geeft een betere benadering voor de ondergrens van de optieprijs. In het verslag wordt het algoritme van Bolia et al. [2004] behandeld.
Het project kent twee voornamelijke doelen. In de eerste plaats is het project gericht op het doorgronden van het algoritme. Hierbij is het de bedoeling dat het algoritme wordt beschreven voor derdejaars bachelor wiskundestudenten. Vanwege de hoeveelheid en ingewikkelde wiskunde achter het algoritme, is er
gekozen om alleen de delen wiskunde te behandelen die noodzakelijk zijn voor
het begrip van het algoritme. Het tweede doel binnen het project is het algoritme
toepassen. Het verslag wordt dan ook afgesloten met een voorbeeld ter
illustratie van het algoritme. In de gevonden resultaten treden discrepanties
op met eerder gedaan onderzoek. Uit verschillende testen kan echter geen
duidelijke fout in de implementatie van het algoritme worden aangewezen.