Hoe centrale groepsuitbreidingen ontstaan uit oppervlaktes van driehoeken

Abstract

In deze scriptie volgen we de lijn die in W. van Est in “A group theoretic interpretation of area in the elementary geometries” heeft uitgezet, maar we gaan grondiger in op de stof en bewijzen de meeste claims die door Van Est worden gedaan. We kijken naar wat triviale en nontriviale centrale groepsuitbreidingen zijn, wat die te maken hebben met cocykels en coranden en cohomologieklassen. We zien dat iedere cocykel een corresponderende homogene cocykel heeft. Aan de hand van het oppervlaktebegrip in een tweedimensionale ruimte kunnen we een homogene cocykel definiëren en daarmee kunnen we dan een centrale groepsuitbreiding construeren van de symmetriegroepen op het tweedimensionale hyperbolische, euclidische en elliptische vlak. We zien dat die uitbreidingen niet triviaal zijn, maar dat wanneer we ieder van deze uitbreidingen verheffen naar hun universele overdekking, de uitbreiding op de symmetriegroep van het hyperbolische vlak triviaal wordt, in tegenstelling tot die van het euclidische vlak.